INTEGRACIÓN EN VARIEDADES

A lo largo del tiempo, el cálculo diferencial e integral se ha establecido como una de los campos más importantes de las matemáticas moderna. Por un lado, desde un punto de vista intuitivo, el cálculo diferencial se enfoca en entender cómo cambian ciertas cantidades en relación a otras. Por ejemplo, la pendiente de una montaña mide qué tan rápido cambia la altura a medida que recorres la distancia. El cálculo diferencial nos permite no solo medir estos cambios, sino también entender y predecir el comportamiento de funciones y fenómenos en la naturaleza, como el movimiento de un objeto o el crecimiento de una población. El cálculo integral, por otro lado, trata sobre acumulación de cantidades. En términos generales, uno puede pensar en la integral como la suma de infinitas pequeñas áreas. Dada la gráfica de una función positiva, la integral calcula el área bajo esa curva. Este concepto es especialmente útil cuando quieres sumar algo que cambia continuamente, como la cantidad de agua acumulada en un recipiente bajo un grifo que no fluye a una velocidad constante. Una de las ideas más poderosas en el cálculo es que estas dos operaciones están íntimamente relacionadas. Los Teoremas fundamentales del cálculo establecen que la derivada y la integral son, en cierto sentido, operaciones inversas. Salvo constante, si calculas la derivada de una integral, en cierto sentido, vuelves al punto de partida, y viceversa. Este libro se ocupa de una evolución natural y necesaria del cálculo diferencial e integral en una o varias variables. En el cálculo clásico, se trabaja en espacios euclidianos, que son planos y con coordenadas globales. Sin embargo, muchos espacios de interés tanto en matemáticas como en sus aplicaciones, no son euclidianos, sino que tienen estructuras más complejas: superficies como esferas y toros no pueden describirse completamente con un solo sistema de coordenadas globalmente definido. Así, se necesitan herramientas más generales que permitan describir cómo se comportan localmente y cómo estas descripciones locales se conectan globalmente. El concepto general con el que trataremos en el libro, y que abarca este tipo de espacios no euclidiano, será el de variedad diferenciable.