La presente obra trata dos temas centrales en el aprendizaje del Cálculo: Desigualdades y Recta Tangente. El tratamiento que los autores hacen sobre tales temas tiene dos destinatarios, estudiantes y profesores de matemáticas. Los principales objetivos para escribir este libro han sido, por una parte, mostrar la importancia de las desigualdades en el estudio de diversos temas de matemáticas y por otra, tratar el cálculo de la recta tangente de funciones elementales, por métodos no tradicionales, que han sido rescatados de un estudio epistemológico. Los autores se han preocupado por hacer accesibles ambos temas, para lo cual se tomaron en cuenta aspectos didácticos que posibilitan su mejor aprendizaje, además de que se hace evidente la forma en que se articulan conceptualmente.

L objectiu principal d aquest manual és proporcionar a l estudiant les eines matemàtiques bàsiques per resoldre problemes d equacions diferencials en derivades parcials, que són les més comunes en fí

El presente libro corresponde a la materia enseñada en la asignatura con título "Ampliación de Variable Compleja" correspondiente al 2º ciclo del Grado de Matemáticas Fundamentales de la UNED. Pretende ser un segundo curso en la teoria de funciones de variable compleja y, por tanto, una continuacion del libro del mismo autor con titulo Teoria de Variable Compleja en esta misma coleccion.

La presente obra tiene como objetivo introducir a los estudiantes en el análisis y el cálculo con funciones reales de varias variables y funciones vectoriales de una y varias variables. Pretende ser un apoyo para que adquieran conocimientos en la materia tratada y desarrollen tanto destrezas en los razonamientos analiticos como habilidades en los calculos que involucran este tipo de funciones. Con esta finalidad, y teniendo presente nuestra dilatada experiencia docente con alumnado universitario en esta disciplina, se ha optado por demostrar la mayoria de los resultados expuestos realizando gran parte de las pruebas para funciones de dos variables, pues permiten visualizar, comprender y asimilar mejor las teorias que se van construyendo; asimismo, a modo de ejemplos u observaciones, se resuelven alrededor de doscientos ejercicios de manera minuciosa, incluyendo aspectos de modelizacion. En la presentacion de los contenidos se ha puesto especial cuidado en mantener un equilibrio entre el lenguaje formal y el lenguaje cotidiano de modo que la exposicion resulte asequible al lector, incluso sirva de utilidad para el aprendizaje autonomo, y en numerosas ocasiones se han incorporado figuras para reforzar la comprension y desarrollar la intuicion. Este libro permite dos tipos de lectura. Por una parte, una lectura mas agil que proporciona un conocimiento intuitivo y practico del calculo diferencial en varias variables y sus aplicaciones, para lo cual se han destacado, con tablas, diagramas y numerosas y elaboradas graficas, los resultados mas importantes que uno debe conocer de la materia. Por otra parte, una lectura mas profunda y con rigor, adentrandose en las demostraciones de los teoremas mas relevantes del calculo diferencial de un nivel mas avanzado que, junto con su motivacion y una cuidada formalizacion, proporcionan al alumno una buena y rigurosa formacion matematica en esta disciplina. El texto va dirigido a estudiantes universitarios de Ciencias e Ingenierias en general y, en particular, a los alumnos de los Grados en Matematicas e Informatica, Ciencia de Datos e Inteligencia Artificial, Ingenieria Informatica y Doble Grado en Ingenieria Informatica y Administracion y Direccion de Empresas de la Universidad Politecnica de Madrid. En el desarrollo de la obra se presupone el conocimiento de los principales resultados del calculo diferencial de una variable y dominio en el manejo de las funciones elementales. No obstante, en muchas ocasiones, se introducen definiciones, propiedades y teoremas recordando previamente los correspondientes al ambito de una variable con un doble proposito, por una parte, motivar y familiarizar al alumno con el metodo matematico que extiende teorias de la forma mas natural posible, por otra parte y con una clara intencion practica, que el material del libro sea autocontenido.

Este libro de apuntes está indicado para un curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias para Ciencias o Ingeniería, sin profundizar excesivamente en los contenidos y centrándose en una exposición cl

El objetivo de este libro es proporcionar los conocimientos y el material necesarios a los alumnos del grado en CC. Matemáticas de la Universidad Nacional de Educación a Distancia para superar la asignatura: ?Introduccion a las ecuaciones diferenciales?. Las ecuaciones diferenciales ordinarias presentan dos partes fundamentales: la teoria clasica de existencia, unicidad y prolongabilidad y la teoria cualitativa. El estudio cualitativo no requiere la expresion explicita de la solucion, que en ocasiones no es posible obtener, pero nos permite conocer el comportamiento de las soluciones. Este libro introduce al alumno en ambos aspectos, ademas de presentar las tecnicas utilizadas en la resolucion de ciertas ecuaciones. El libro comienza con un capitulo introductorio donde se presentan los principales aspectos a tener en cuenta en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias. En el Capitulo 2 se presentan los metodos clasicos de resolucion de ecuaciones de primer orden, tanto para ecuaciones lineales como no lineales. En el Capitulo 3 se estudian los resultados teoricos sobre existencia, unicidad y prolongabilidad de las soluciones del problema de valor inicial. Los sistemas lineales se estudian en el Capitulo 4, cuyo estudio es imprescindible para el estudio de la teoria cualitativa (Capitulo 5). El Capitulo 6 presenta una serie de problemas de ecuaciones diferenciales que aparecen en otras disciplinas, como la fisica o la biologia. El estudio de estas ecuaciones nos permite entender el comportamiento de ciertas magnitudes expresadas como soluciones de ecuaciones diferenciales. Con el objetivo de hacer este libro lo mas autocontenido posible, se incluye un apendice donde se demuestra el teorema de la alternativa de Fredholm para aplicaciones lineales entre espacios de dimension finita. Este texto esta enfocado a un aprendizaje autonomo del estudiante, presentando numerosos ejemplos y ejercicios resueltos. Se ha intentando utilizar un lenguaje preciso y claro que permita su comprension sin dificultad. Prerrequisitos. Los conocimientos necesarios para poder seguir el libro son los adquiridos en un curso de calculo diferencial e integral de varias variables. En el grado en C.C.Matematicas de la U.N.E.D., dichos conocimientos se imparten en las asignaturas de ?Funciones de varias variables I y II?. Utilizacion del texto. Para una mejor comprension del texto, se recomienda comenzar por el Capitulo 1. Dado el caracter independiente del Capitulo 2, una vez leido el Capitulo 1, es posible continuar leyendo el Capitulo 2 o pasar directamente al Capitulo 3. Se recomienda continuar con el resto de Capitulos en el orden que aparecen, teniendo en cuenta que para el estudio del Capitulo 4 y posteriores es necesario conocer tanto el Capitulo 2 como el 3.

This book presents an introduction to the Finite Element Method (FEM) and is primarily aimed at students, engineers and scientists who already know structural calculation. It starts from the matrix reformulation of the direct stiffness method to understand the enormous potential of introducing the idea of the weak formulation for the approximation of strut structure problems. The correspondence of results between the initial classical formulation and that of the FEM when using linear shape functions and Hermite polynomials, makes it possible to approach its general formulation more easily as a procedure to obtain approximate solutions of differential equations in partial derivatives. It is essential now to introduce the idea of element, which allows, from the definition of a reduced number of base functions and through a simple combination process, to approximate its real behavior and, through superposition, that of the structure.

Pretende ésta ser una obra de carácter introductorio sobre el relevante tema de las matemáticas numéricas y el cálculo científico, el cual abarca áreas tales como el cálculo y el análisis numérico, la optimizacion matematica y muchas otras relacionadas, como son el modelaje matematico y las diferentes estrategias utilizadas en la resolucion practica de problemas que involucran, todas ellas, la fusion de las matematicas formales que conocemos con el uso exhaustivo de las maquinas de calculo cientifico modernas. Esta obra puede ser utilizado tanto como un libro de texto por estudiantes de pregrado de nivel medio o avanzado, como por estudiantes de un curso de primer año de estudios de postgrado. Asimismo, persiguiendo claridad, concision y completitud, el texto contiene, en relativamente pocas paginas, el material necesario para su lectura individual, pudiendo ser utilizado tambien como un libro de referencia por investigadores noveles que necesiten aplicar en su trabajo los elementos basicos del calculo cientifico o bien, como un libro de texto en un curso tutorizado.

Este libro se ha diseñado para estudiantes de ciencias e ingeniería y particularmente para los de Ingeniería, teniendo siempre presente el objetivo de motivar y desarrollar la capacidad de razonamiento matematico y la de saber aplicar las ecuaciones difer

Este libro tiene por objeto dar a conocer la teoría y métodos, cualitativos y cuantitativos, básicos de los complejos campos de ecuaciones diferenciales, en diferencias y en derivadas parciales. El libro es autocontenido, de forma que el lector encontrara en el todas las herramientas necesarias para abordar con exito el estudio de esta materia. Por ello, en el texto se exponen los contenidos completos y de forma sistematica necesarios con un nivel intermedio. Asi, algunos lectores -aquellos que se acerquen a las ecuaciones en diferencias, diferenciales y en derivadas parciales para aplicarlas en disciplinas como la Fisica, la Biologia o las Ciencias Sociales- encontrarian resultados y demostraciones que vayan mas alla de sus necesidades, y podrian obviarlos. Por el contrario, se ha pretendido plasmar unicamente los resultados y demostraciones que contribuyan a mejorar la compresion del conjunto, lo que conlleva no hacer hincapie en los contenidos que puedan resultar muy teoricos o avanzados; el lector que lo desee puede utilizar este texto como base y ampliar sus conocimientos con la bibliografia que se propone. La estructura de sus capitulos es similar. Primero se hace una exposicion de la teoria, las definiciones, los resultados y las demostraciones necesarias. Por medio de ejemplos se muestran los metodos y las herramientas que ayudan a profundizar en los contenidos y como aplicarlos. Por ultimo, en la seccion final de cada capitulo, se propone una coleccion extensa y variada de ejercicios y problemas para que el lector practique lo aprendido y sea consciente del grado de comprension que ha adquirido.Este libro tiene por objeto dar a conocer la teoría y métodos, cualitativos y cuantitativos, básicos de los complejos campos de ecuaciones diferenciales, en diferencias y en derivadas parciales. El libro es autocontenido, de forma que el lector encontrara en el todas las herramientas necesarias para abordar con exito el estudio de esta materia. Por ello, en el texto se exponen los contenidos completos y de forma sistematica necesarios con un nivel intermedio. Asi, algunos lectores -aquellos que se acerquen a las ecuaciones en diferencias, diferenciales y en derivadas parciales para aplicarlas en disciplinas como la Fisica, la Biologia o las Ciencias Sociales- encontrarian resultados y demostraciones que vayan mas alla de sus necesidades, y podrian obviarlos. Por el contrario, se ha pretendido plasmar unicamente los resultados y demostraciones que contribuyan a mejorar la compresion del conjunto, lo que conlleva no hacer hincapie en los contenidos que puedan resultar muy teoricos o avanzados; el lector que lo desee puede utilizar este texto como base y ampliar sus conocimientos con la bibliografia que se propone. La estructura de sus capitulos es similar. Primero se hace una exposicion de la teoria, las definiciones, los resultados y las demostraciones necesarias. Por medio de ejemplos se muestran los metodos y las herramientas que ayudan a profundizar en los contenidos y como aplicarlos. Por ultimo, en la seccion final de cada capitulo, se propone una coleccion extensa y variada de ejercicios y problemas para que el lector practique lo aprendido y sea consciente del grado de comprension que ha adquirido.

Este manual es una introducción al estudio de las funciones de una variable real, con el nivel de formalismo esperable en el nivel universitario de matemáticas. En la obra se usa la topología como elemento vertebrador de los contenidos y se aporta una cantidad importante de ejercicios (muchos de ellos clasicos) asi como las soluciones a un gran numero. Se incluyen ademas ejercicios de expansion que permiten presentar, de manera indirecta, nuevos conceptos de la teoria de funciones mas alla de los presentados en la parte teorica. Se tratan tambien temas menos frecuentes o detallados en muchas obras introductorias al analisis, como pueden ser un estudio pormenorizado de la convexidad, la periodicidad, la propiedad de Darboux, la construccion de la funcion exponencial a partir de las potencias naturales o versiones mas sofisticadas de teoremas como el del Valor Medio o el de Taylor. Finalmente, en el apendice, se señalan algunas aplicaciones de la teoria expuesta tanto a la fisica (ley de refraccion de Snell) como al calculo numerico (metodos de dicotomia y Newton) y a otros aspectos de la teoria de funciones con una presentacion somera de la funcion de Cantor.

El cálculo integral de funciones de varias variables reales es una ma­teria fundamental en la formación matemática, no solo en las facultades de ma­temáticas, sino también en las de ciencias y en las

En la formación básica del estudiante del grado de Matemáticas es importante el lenguaje en el que se expresa de manera precisa un problema. Las Matemáticas no pueden ser entendidas sólo como un conjunto de herramientas. Aprender a utilizarlas con correccion y asimilar sus estructuras y conceptos fundamentales, ayudan al estudiante a desarrollar las capacidades logicas, de abstraccion y de demostracion.El estudio del Analisis Matematico es basico para una robusta formacion matematica. Esta parte de las Matematicas esta presente en la formacion educativa desde los inicios de la Enseñanza Secundaria de cualquier persona, hasta su actuacion en el ambito profesional. Sirve de herramienta para la resolucion del problema modelo de una situacion real. Las Matematicas a nivel universitario no pueden ser entendidas sin referencia continua a la modelizacion basica que hace el Calculo Matematico de los problemas del mundo tecnologico. Aunque no siempre se resuelven de forma exacta esos problemas, al menos se aproxima a una posible solucion. El Calculo se inicia sobre un elemento dificil de entender: el numero real. Calcular o descubrir un cierto numero, incognita, del cual solo se sabe que cumple ciertas propiedades puede ser importante, pero saber como varia ese numero en relacion a la variacion de las condiciones introduce la nocion de variable y el concepto de funcion, el conjunto de numeros donde todo es coherente.Objetivos: Para desarrollar los contenidos de este libro, hemos tenido muy presentes los objetivos que se querian conseguir. Hemos querido que el estudiante adquiera ciertas habilidades en los significados matematicos y sus expresiones conjuntas a una situacion visual, se familiarice con el rigor matematico y los procesos deductivos del Analisis. Sobre todo, hemos querido que el estudiante sepa en cada momento lo que hace en su estudio y le proponemos que imite inicialmente lo que se hace en situaciones ejemplares, por ello se le propone inmediatamente una practica despues de cada ejemplo o ejercicio. En esta materia conviene hacer para poder entender, pues entender no es facil. Hemos pensado en un estudiante aislado de un grupo de compañeros, que estudia solo y que tiene que adquirir las nociones basicas y saber utilizarlas. Tratamos que el lector pueda leer y entender enunciados y que establezca relaciones entre los diferentes enunciados. Que pueda establecer resoluciones y demostraciones por similitud con las formas de resolucion de los ejemplos y ejercicios. En este sentido una demostracion no es mas que la resolucion de un problema generico. Esto nos ha hecho presentar algunas demostraciones de propiedades y teoremas como ejercicio resuelto en la seccion correspondiente en cada capitulo. Asi pues, no se trata de un libro sin demostraciones, sino un libro donde los resultados no son mas que situaciones generales de otras tantas practica concretas. Nuestra intencion es presentar al estudiante una serie de retos teoricos (sin numeros concretos) y retos practicos (con numeros y expresiones concretas) para que el estudiante entienda que los resultados teoricos son fruto de la resolucion de algun problema. De esta manera cada uno de los ejercicios resueltos se incorporan al minimo de resultados presentados claramente como teoria. Esta materia debe aprenderse acumulando la base de conocimiento expuesta tanto definicion, proposicion, teorema y colorario, como con ejemplos y ejercicios que son presentados como problemas y con su solucion. Deben considerarse parte de conocimientos teoricos aquellos ejemplos y ejercicios que son rotulados con un titulo en letra negrita. Se ha optado por esta forma de añadir resultados teoricos para facilitar el estudio de la materia.

De todas las asignaturas de matemáticas que se estudian en una carrera científica o técnica, la de Ecuaciones Diferenciales es probablemente la que encuentra mayor y más directa aplicación. Muchos de los problemas planteados en campos tan diversos como Biologia, Fisica, Quimica, Ingenieria o Economia involucran ecuaciones diferenciales en su modelizacion. Este libro presenta el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias no solo desde el punto de vista mas mecanico de los metodos analiticos de resolucion, sino desde una perspectiva mas profunda que incluye el analisis cualitativo de las soluciones. Se abordan aspectos como la existencia, unicidad y prolongabilidad de solucion, la regularidad y estabilidad de las mismas. Todo ello aplicado a un amplio espectro de ecuaciones diferenciales.

El análisis vectorial es la disciplina de la Matemáticas encargada del estudio de los campos vectoriales y escalares en dos o más dimensiones, dando lugar a un conjunto de fórmulas y metodos cuyo uso es instrumental en la resolucion de problemas en Ingenieria. Por este motivo, es una materia de formacion basica en los planes de estudio actuales de los Grados en Ingenieria del sistema universitario español. Este manual tiene por objeto ofrecer un enfoque practico y sencillo a la resolucion de problemas tipicos que aparecen en el analisis vectorial, sirviendo como complemento ideal al estudio teorico de esta materia. El manual cubre la parametrizacion de curvas y superficies, la integracion en varias variables, integrales en linea y de superficie y termina con ejercicios de aplicacion de los Teoremas de la Divergencia y de Stokes.

Este libro está concebido como una guía imprescindible para la asignatura Cálculo en varias variables (Cálculo II) para los cursos de grado en Ingeniería. No obstante, también puede ser utilizado por cualquier lector que este buscando ejercicios resueltos sobre: Integrales en dos y tres variables. Parametrizaciones de curvas, integrales de linea y circulacion de campos vectoriales. Parametrizacion de superficies y flujo de campos vectoriales. Resolucion de ecuaciones diferenciales basicas. Resolucion de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Se ha tenido en cuenta que para la mayoria de los estudiantes el lenguaje matematico resulta muy pesado; existen libros de calculo muy buenos, pero ininteligibles si no se esta acostumbrado al formalismo de las matematicas. Por ello, aqui la materia se intenta introducir desde la resolucion de ejercicios. Por ello, se exponen problemas de calculo y se resuelven con detalle. Los teoremas clasicos del Calculo Integral (Fubini Tonelli, Green, Gauss y Stokes) estan incluidos en el temario, enunciados con rigor, pero sin entrar en demasiados detalles. El objetivo es que sean herramientas eficaces para la integracion. Para una mayor ilustracion se han incluido muchas imagenes, ademas de recursos diseñados con GeoGebra a los que se puede acceder mediante codigos QR. Estos codigos permiten acceder a recursos pedagogicos adicionales como, por ejemplo, actividades, videos, graficos y contenidos teoricos que ayudaran a los estudiantes a ampliar sus conocimientos en las materias de Calculo y Ecuaciones diferenciales. Luis Maire Martin es profesor del Departamento de Matematica e Informatica Aplicadas a las Ingenierias Civil y Naval en la Escuela Tecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de la UPM.

Este libro se ha concebido como texto base para una introducción al estudio del cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables reales. Su contenido incluye los temas fundamentales sobre convergencia y continuidad de funciones de varias variables, calculo diferencial multivariable, calculo integral multiple, propios de los programas habituales de un segundo semestre de calculo de las carreras universitarias cientificas y tecnicas. Los contenidos del texto se presentan en siete capitulos o temas, siguiendo el orden de desarrollo usual de la materia: Funciones entre espacios euclideos, limites de funciones entre espacios euclideos, continuidad de funciones entre espacios euclideos, derivadas parciales y diferencial de funciones de varias variables, aplicaciones de las derivadas parciales, integrales dobles, e integrales triples. Por otra parte, con el fin de completar y afianzar los conocimientos del lector, cada capitulo va acompañado de una variada coleccion de ejercicios con diferentes niveles de dificultad.

Esta edición del manual de R.T. Smith, R.B. Minton y Z.A.T. Rafhi ha sido adaptada para su utilización en la asignatura de Matemáticas I del Grado en Ciencias Ambientales de la UNED. La adaptació